為什麼球面不能展成平面圖形？

現在學過數學的人們都知道這樣一個原理：圓柱、圓錐、圓臺的側面面積，我們可以利用各圖形在平面內的展開圖面來求出面積。但是球面是不能展成一個平面圖形，因此球的表面積公式也就沒辦法用這個方法求出。但是為什麼球面不能展成一個平面圖形呢?

我們可以把圓柱、圓錐、圓臺的一個側面看成由一條直線(或線段)運動生成的圖形，於是只有球面是惟一不能透過直線運動生成的圖形。再說圓柱、圓錐、圓臺的各個側面都存在直線，但是在球面上沒有一條直線是存在的。因此球面不能展成一個平面圖形，人們把能夠伸展為一個平面圖形的曲面稱為直紋面，圓柱、圓錐、圓臺的側面都屬於直紋面。

如果在平面上任意剪下一塊，如矩形或扇形，我們就可以既不疊皺，也不用撕破它貼附在圓柱或圓錐的某個側面上。但是在平面上無論你剪下哪一種形狀的一塊，也都沒辦法既不疊皺也不撕破地貼在某個球面上。

事實上我們知道如果剪下的矩形、扇形或某一形狀上，經過任意一點，可以沿任意方向相交於這個點的直線段a、b、c…然後將這些分別畫有線段a、b、c…或其它的矩形、扇形貼上在這些圓柱、圓錐的側面上，a、b、c…的長度各個都不改變。如果將畫有線段a、b、c…的某形狀往球面上貼上，或者貼不上，或者貼上，那樣某些方向上的線段c或d…的長度就可以改變了。因為有使某些圖形某些線段重合的一部分，或者拉長，或者撕斷我們才能夠貼在球的表面上。

兩個曲面(平面是曲面的特殊情況)可以相互貼合的充分必要的條件就是兩個曲面距離相等。所謂等距是指我們在兩曲面間建立了互相對應關係，而且對應曲線的長度等長。因此平面與球面是不能建立等距關係的，球面也就不能展成平面圖形。